Chapitre 4 : Diagonalisation
Déterminant, valeurs propres, vecteurs propres et diagonalisation
Diagonalisation
La diagonalisation est l’une des techniques les plus puissantes de l’algèbre linéaire. Elle consiste à chercher une base dans laquelle un endomorphisme s’exprime sous forme diagonale, c’est-à-dire où la matrice associée n’a que des coefficients non nuls sur la diagonale. Cette représentation simplifie considérablement les calculs et révèle les propriétés intrinsèques de l’endomorphisme.
Avant d’aborder la diagonalisation proprement dite, nous devons introduire un outil fondamental : le déterminant.
Déterminant
Le déterminant est une application qui à toute matrice carrée associe un nombre réel (ou complexe). Cette quantité contient une information précieuse sur la matrice : elle nous renseigne sur son inversibilité, sur le volume qu’elle transforme, et elle joue un rôle central dans le calcul des valeurs propres.
Voici une définition générale du déterminant qui fait intervenir le groupe symétrique, les transpositions et la signature. Bien que cette définition soit théoriquement importante, le bagage mathématique nécessaire pour la comprendre pleinement étant conséquent, on pourra se concentrer sur les propriétés opératoires qui en découlent.
Définition 4.1 - Déterminant
Soient \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Le déterminant de la matrice \(A\), noté \(\det(A)\), est le nombre réel défini par : \[ \det(A) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} \]
où \(\mathfrak{S}_n\) désigne le groupe des permutations de \(\{1, \ldots, n\}\) et \(\varepsilon(\sigma)\) est la signature de la permutation \(\sigma\).
Remarque
Cette définition, bien que formellement exacte, n’est pas pratique pour les calculs. Heureusement, nous disposons de nombreuses propriétés qui facilitent grandement le calcul effectif des déterminants.
Proposition 4.1 - Propriétés du déterminant
Soient \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Alors :
\(\displaystyle \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc\)
\(\det(\text{Id}_n) = 1\)
En échangeant deux colonnes, le déterminant change de signe : \[ \det(\text{Col}_1, \ldots, \text{Col}_i, \ldots, \text{Col}_j, \ldots, \text{Col}_n) = -\det(\text{Col}_1, \ldots, \text{Col}_j, \ldots, \text{Col}_i, \ldots, \text{Col}_n) \]
Le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne : \[ \det(\text{Col}_1, \ldots, \lambda \text{Col}_i, \ldots, \text{Col}_n) = \lambda \det(\text{Col}_1, \ldots, \text{Col}_i, \ldots, \text{Col}_n) \]
\(\det(\lambda \cdot A) = \lambda^n \det(A)\)
On ne modifie pas la valeur du déterminant d’une matrice en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.
Démonstration
Propriété (1) : On admet cette formule pour le cas \(2 \times 2\) (calcul direct). Le cas général se vérifie à partir de la définition.
Propriété (3) : Si on échange deux colonnes, cela revient à composer la permutation \(\sigma\) par une transposition, ce qui change le signe de \(\varepsilon(\sigma)\). D’où le changement de signe du déterminant.
Propriété (4) : Si on multiplie la colonne \(i\) par \(\lambda\), chaque terme du déterminant contient exactement un facteur provenant de cette colonne, qui est donc multiplié par \(\lambda\).
Propriété (5) : En multipliant \(A\) par \(\lambda\), chacune des \(n\) colonnes est multipliée par \(\lambda\). Par la propriété (4) appliquée \(n\) fois, on obtient \(\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)\).
Propriété (6) : Si on remplace \(C_i\) par \(C_i + \alpha C_j\) avec \(i \neq j\), la multilinéarité donne \(\det(\ldots, C_i + \alpha C_j, \ldots) = \det(\ldots, C_i, \ldots) + \alpha \det(\ldots, C_j, \ldots, C_j, \ldots)\). Or un déterminant avec deux colonnes identiques est nul (conséquence de la propriété (3) : en échangeant ces deux colonnes, le déterminant change de signe mais reste le même, donc il vaut 0).
Théorème 4.1 - Calcul du déterminant par développement
Soient \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Notons \(\hat{A}_{i,j}\) la matrice obtenue en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\) de \(A\). Alors, pour toute colonne \(j \in \{1, \ldots, n\}\) : \[ \det(A) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} \det(\hat{A}_{i,j}) \]
Cette formule s’appelle le développement du déterminant selon la colonne \(j\).
Démonstration
On procède par récurrence sur \(n\).
Initialisation (\(n = 1\)) : Trivial, \(\det(a) = a\) et la formule donne \((-1)^{1+1} a_{11} = a_{11}\).
Initialisation (\(n = 2\)) : On vérifie que le développement selon la colonne 1 donne : \[ (-1)^{1+1} a_{11} a_{22} + (-1)^{2+1} a_{21} a_{12} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12} \] ce qui coïncide bien avec la formule du déterminant \(2 \times 2\).
Hérédité : Supposons la formule vraie pour les matrices de taille \((n-1) \times (n-1)\). En partant de la définition par les permutations, on regroupe les termes de la somme \(\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \displaystyle \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}\) selon la valeur de \(\sigma(j)\) pour une colonne \(j\) fixée. Chaque groupe correspond exactement au produit \((-1)^{i+j} a_{ij}\) multiplié par le déterminant de la sous-matrice \(\hat{A}_{ij}\) de taille \((n-1)\), ce qui donne la formule.
Remarque
Le choix de la colonne pour le développement est arbitraire. En pratique, on choisit la colonne qui contient le plus de zéros pour minimiser les calculs.
Exemple 4.1.1 - Calcul d’un déterminant \(3 \times 3\)
Calculons \(\displaystyle{\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&0&1\\1&1&-1\end{array}\right|}\). Le choix de la colonne à prendre est purement arbitraire, mais un œil averti remarquera que certain choix minimise les calculs.
Développement selon la colonne 1 : \[ \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&0&1\\1&1&-1\end{array}\right|= \underbrace{+(1)\left|\begin{array}{cc}0&1\\1&-1\end{array}\right|}_{=-1} \underbrace{-(2)\left|\begin{array}{cc}2&1\\1&-1\end{array}\right|}_{=6} \underbrace{+(1)\left|\begin{array}{cc}2&1\\0&1\end{array}\right|}_{=2} =7 \]
Développement selon la colonne 2 : \[ \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&0&1\\1&1&-1\end{array}\right|= \underbrace{-(2)\left|\begin{array}{cc}2&1\\1&-1\end{array}\right|}_{=6} \underbrace{+(0)\left|\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}\right|}_{=0} \underbrace{-(1)\left|\begin{array}{cc}1&1\\2&1\end{array}\right|}_{=1} =7 \]
Développement selon la colonne 3 : \[ \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&0&1\\1&1&-1\end{array}\right|= \underbrace{+1\left|\begin{array}{cc}2&0\\1&1\end{array}\right|}_{=2} \underbrace{-1\left|\begin{array}{cc}1&2\\1&1\end{array}\right|}_{=1} \underbrace{+(-1)\left|\begin{array}{cc}1&2\\2&0\end{array}\right|}_{=4} =7 \]
On remarque que la dernière méthode était plus avantageuse car l’apparition du \(0\) a limité le calcul. En utilisant qu’un déterminant n’est pas modifié si on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres, on peut faire apparaître le plus de \(0\) possible pour simplifier significativement les opérations à effectuer.
\[ \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&0&1\\1&1&-1\end{array}\right| \underset{C_2\leftarrow C_2-2C_3}{=} \left|\begin{array}{ccc}1&0&1\\2&-2&1\\1&3&-1\end{array}\right| \underset{C_1\leftarrow C_1-C_3}{=} \left|\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&-2&1\\2&3&-1\end{array}\right| =1\left|\begin{array}{cc}1&-2\\2&3\end{array}\right|=7 \]
Proposition 4.2 - Multiplicativité et inversibilité
Soient \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Alors :
- \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\) (multiplicativité)
- \(\det(A^T) = \det(A)\) (où \(A^T\) est la transposée de \(A\))
- \(A\) est inversible si et seulement si \(\det(A) \neq 0\)
- Si \(A\) est inversible, alors \(\displaystyle \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\)
Démonstration
Multiplicativité. On utilise la formule de Leibniz : \(\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}\). En écrivant les coefficients de \(AB\) et en développant le déterminant de \(AB\) via cette formule, on obtient après réorganisation des sommes que \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\).
Invariance par transposition. D’après la formule de Leibniz, \(\det(A^T)=\sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),i}\). En effectuant le changement d’indice \(j=\sigma(i)\), on retrouve exactement l’expression de \(\det(A)\).
Critère d’inversibilité. Si \(A\) est inversible, \(\det(A)\det(A^{-1})=\det(\mathrm{Id}_n)=1\), donc \(\det(A)\neq 0\). Réciproquement, si \(\det(A)\neq 0\), la matrice des cofacteurs permet d’écrire \(A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{Com}(A)^T\).
Déterminant de l’inverse. \(\det(A)\det(A^{-1})=\det(\mathrm{Id}_n)=1\), d’où \(\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}\).
Exemple 4.1.2
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\).
On a \(\det(A) = 2 \times 2 - 1 \times 3 = 4 - 3 = 1 \neq 0\).
Donc \(A\) est inversible. De plus, \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = 1\).
Vérifions : \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\) et \(\det(A^{-1}) = 2 \times 2 - (-1) \times (-3) = 4 - 3 = 1\).
Exemple 4.1.3 - Opérations sur les lignes
La propriété (3) implique en particulier que les propriétés du déterminant sur les colonnes sont également vraies sur les lignes.
Par exemple calculons (à nouveau) \(\displaystyle{\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&0&1\\1&1&-1\end{array}\right|}\).
Développement selon la ligne 2 : \[ \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&0&1\\1&1&-1\end{array}\right|= \underbrace{-2\left|\begin{array}{cc}2&1\\1&-1\end{array}\right|}_{=6} \underbrace{+0\left|\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}\right|}_{=0} \underbrace{-1\left|\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right|}_{=1} =7 \]
Opérations sur les lignes : \[ \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&0&1\\1&1&-1\end{array}\right| \underset{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{=} \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-4&-1\\1&1&-1\end{array}\right| \underset{L_3\leftarrow L_3-L_1}{=} \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-4&-1\\0&-1&-2\end{array}\right| =1\left|\begin{array}{cc}-4&-1\\-1&-2\end{array}\right|=7 \]
Combinaison lignes-colonnes : \[ \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&0&1\\1&1&-1\end{array}\right| \underset{C_2\leftarrow C_2-2C_3}{=} \left|\begin{array}{ccc}1&0&1\\2&-2&1\\1&3&-1\end{array}\right| \underset{L_2\leftarrow L_2+\frac{2}{3}L_3}{=} \left|\begin{array}{ccc}1&0&1\\\frac{8}{3}&0&\frac{1}{3}\\1&3&-1\end{array}\right| =-3\left|\begin{array}{cc}1&1\\\frac{8}{3}&\frac{1}{3}\end{array}\right|=7 \]
Exercice
Calculer le déterminant de la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}\) (matrice triangulaire supérieure).
Que peut-on dire du déterminant d’une matrice triangulaire en général ?
Valeurs propres et vecteurs propres
Nous arrivons maintenant au cœur de la théorie de la diagonalisation. Les valeurs propres et vecteurs propres sont des objets fondamentaux qui caractérisent le comportement d’un endomorphisme.
Définitions
Définition 4.2 - Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre
Soit \(f : E \to E\) un endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\).
Un scalaire \(\lambda \in \mathbb{R}\) est appelé valeur propre de \(f\) s’il existe un vecteur non nul \(v \in E\) tel que : \[f(v) = \lambda v\]
Un vecteur non nul \(v \in E\) est appelé vecteur propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda\) si : \[f(v) = \lambda v\]
L’ensemble des vecteurs propres associés à \(\lambda\), auquel on ajoute le vecteur nul, forme un sous-espace vectoriel appelé sous-espace propre associé à \(\lambda\), noté \(E_\lambda\) : \[E_\lambda = \{v \in E \mid f(v) = \lambda v\} = \text{Ker}(f - \lambda \text{id}_E)\]
Remarque
Par définition, le vecteur nul n’est jamais considéré comme un vecteur propre, bien qu’il appartienne à tous les sous-espaces propres.
L’équation \(f(v) = \lambda v\) signifie que \(f\) transforme \(v\) en un multiple de lui-même : le vecteur \(v\) garde sa direction (il peut être étiré ou contracté par le facteur \(\lambda\), et éventuellement retourné si \(\lambda < 0\)).
Définition 4.3 - Spectre
L’ensemble de toutes les valeurs propres d’un endomorphisme \(f\) (ou d’une matrice \(A\)) est appelé le spectre de \(f\), noté \(\text{Sp}(f)\) (ou \(\text{Sp}(A)\)).
Exemple 4.2.1 - Symétrie dans \(\mathbb{R}^2\)
Considérons la symétrie par rapport à l’axe des abscisses dans \(\mathbb{R}^2\) : \[f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \quad (x, y) \mapsto (x, -y)\]
Les vecteurs de la forme \((x, 0)\) vérifient \(f(x, 0) = (x, 0) = 1 \cdot (x, 0)\). Donc \(\lambda_1 = 1\) est valeur propre et \(E_1 = \{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}\}\).
Les vecteurs de la forme \((0, y)\) vérifient \(f(0, y) = (0, -y) = -1 \cdot (0, y)\). Donc \(\lambda_2 = -1\) est valeur propre et \(E_{-1} = \{(0, y) \mid y \in \mathbb{R}\}\).
Géométriquement, les vecteurs propres pour \(\lambda = 1\) restent inchangés par la symétrie, tandis que ceux pour \(\lambda = -1\) sont retournés.
Exemple 4.2.2 - Rotation dans \(\mathbb{R}^2\)
Considérons la rotation d’angle \(\frac{\pi}{2}\) dans \(\mathbb{R}^2\) : \[f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \quad (x, y) \mapsto (-y, x)\]
Cette rotation n’a pas de vecteurs propres réels, car aucun vecteur non nul ne garde sa direction après une rotation de \(90°\).
(Dans \(\mathbb{C}^2\), cette rotation aurait des valeurs propres complexes \(\pm i\).)
Polynôme caractéristique
Pour calculer les valeurs propres d’un endomorphisme, nous avons besoin d’introduire le polynôme caractéristique.
Définition 4.4 - Polynôme caractéristique
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) une matrice carrée. Le polynôme caractéristique de \(A\) est le polynôme défini par : \[P_A(X) = \det(A - X \text{Id}_n)\]
Proposition 4.3 - Caractérisation des valeurs propres
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Alors :
- \(\lambda \in \mathbb{R}\) est valeur propre de \(A\) si et seulement si \(P_A(\lambda) = 0\)
- Le polynôme caractéristique \(P_A\) est de degré \(n\)
- Les valeurs propres de \(A\) sont exactement les racines réelles de \(P_A\)
Démonstration
\(\lambda\) est valeur propre si et seulement si il existe \(v \neq 0\) tel que \(Av = \lambda v\), c’est-à-dire \((A - \lambda \text{Id}_n)v = 0\).
Ceci équivaut à dire que \(A - \lambda \text{Id}_n\) n’est pas inversible, donc \(\det(A - \lambda \text{Id}_n) = 0\).
Exemple 4.2.3
Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\).
Calculons son polynôme caractéristique : \[ P_A(X) = \det \begin{pmatrix} 3-X & 1 \\ 0 & 2-X \end{pmatrix} = (3-X)(2-X) = X^2 - 5X + 6 = (X-2)(X-3) \]
Les valeurs propres sont donc \(\lambda_1 = 2\) et \(\lambda_2 = 3\).
Calcul des sous-espaces propres :
Pour \(\lambda_1 = 2\) : \(A - 2\text{Id}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). Un vecteur \((x, y)\) est dans le noyau si \(x + y = 0\), donc \(E_2 = \text{Vect}\{(1, -1)\}\).
Pour \(\lambda_2 = 3\) : \(A - 3\text{Id}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\). Un vecteur \((x, y)\) est dans le noyau si \(y = 0\), donc \(E_3 = \text{Vect}\{(1, 0)\}\).
Définition 4.5 - Multiplicités
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(A\).
- La multiplicité algébrique de \(\lambda\) est sa multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
- La multiplicité géométrique de \(\lambda\) est la dimension du sous-espace propre \(E_\lambda\).
Proposition 4.4 - Trace et déterminant
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et soient \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) les racines (comptées avec multiplicité) du polynôme caractéristique. Alors :
- \(\text{tr}(A) = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n\) (la trace est la somme des valeurs propres)
- \(\det(A) = \lambda_1 \cdots \lambda_n\) (le déterminant est le produit des valeurs propres)
Démonstration
Le polynôme caractéristique s’écrit \(P_A(X) = (-1)^n(X - \lambda_1) \cdots (X - \lambda_n)\). En développant et en identifiant les coefficients, le coefficient de \(X^{n-1}\) donne \((-1)^{n+1}(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)\). Or ce coefficient vaut aussi \((-1)^{n+1}\text{tr}(A)\), d’où \(\text{tr}(A) = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n\).
En évaluant en \(0\) : \(P_A(0) = \det(A) = (-1)^n(-\lambda_1) \cdots (-\lambda_n) = \lambda_1 \cdots \lambda_n\).
Remarque
Ces relations sont très utiles pour vérifier ses calculs : après avoir trouvé les valeurs propres, on peut contrôler que leur somme donne la trace et leur produit donne le déterminant. C’est un réflexe à prendre.
Proposition 4.5 - Famille libre de vecteurs propres
Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.
Démonstration
Montrons le résultat par récurrence sur le nombre \(k\) de vecteurs propres.
Pour \(k = 1\) : un vecteur propre est non nul par définition, donc la famille \(\{v_1\}\) est libre.
Supposons le résultat vrai pour \(k - 1\) vecteurs. Soient \(v_1, \ldots, v_k\) des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\). Supposons : \[\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k = 0_E\]
En appliquant \(f\) : \(\alpha_1 \lambda_1 v_1 + \cdots + \alpha_k \lambda_k v_k = 0_E\).
En soustrayant \(\lambda_k\) fois la première relation : \[\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_k) v_1 + \cdots + \alpha_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k) v_{k-1} = 0_E\]
Par hypothèse de récurrence, la famille est libre, donc \(\alpha_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0\) pour tout \(i \leq k-1\). Comme les \(\lambda_i\) sont distincts, \(\alpha_i = 0\) pour tout \(i \leq k-1\). En reportant, \(\alpha_k v_k = 0_E\), et comme \(v_k \neq 0_E\), on a \(\alpha_k = 0\).
Proposition 4.6 - Inégalité des multiplicités
Pour toute valeur propre \(\lambda\), on a : \[1 \leq \text{multiplicité géométrique}(\lambda) \leq \text{multiplicité algébrique}(\lambda)\]
Diagonalisation
Définition 4.6 - Matrice diagonalisable
Un endomorphisme \(f : E \to E\) est dit diagonalisable s’il existe une base de \(E\) formée de vecteurs propres de \(f\).
Une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est dite diagonalisable s’il existe une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que : \[A = PDP^{-1}\]
Remarque
Si \(A = PDP^{-1}\), alors les colonnes de \(P\) sont les vecteurs propres de \(A\) et les coefficients diagonaux de \(D\) sont les valeurs propres correspondantes.
Théorème 4.2 - Critère de diagonalisation
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Les assertions suivantes sont équivalentes :
- \(A\) est diagonalisable
- Il existe une base de \(\mathbb{R}^n\) formée de vecteurs propres de \(A\)
- La somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à \(n\) : \(\displaystyle\sum_{\lambda \text{ v.p.}} \dim(E_\lambda) = n\)
- Pour chaque valeur propre \(\lambda\), la multiplicité géométrique est égale à la multiplicité algébrique
Corollaire 4.1
Si \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) possède \(n\) valeurs propres distinctes, alors \(A\) est diagonalisable.
Démonstration
Si les valeurs propres sont toutes distinctes, chaque multiplicité algébrique vaut 1, donc chaque multiplicité géométrique vaut aussi 1, et la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut \(n\).
Exemple 4.2.4 - Diagonalisation
Reprenons \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) avec \(E_2 = \text{Vect}\{(1, -1)\}\) et \(E_3 = \text{Vect}\{(1, 0)\}\).
Posons \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\).
Vérification : \(P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) et \[ PDP^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = A \quad \checkmark \]
Exemple 4.2.5 - Une matrice non diagonalisable
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\).
\(P_A(X) = (2-X)^2\), donc \(\lambda = 2\) est la seule valeur propre, avec multiplicité algébrique 2.
\(E_2 = \text{Ker} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \text{Vect}\{(1, 0)\}\), donc \(\dim(E_2) = 1 < 2\).
Par conséquent, \(A\) n’est pas diagonalisable.
Exercice
Déterminer si la matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\) est diagonalisable. Si oui, trouver \(P\) et \(D\) telles que \(A = PDP^{-1}\).
Applications de la diagonalisation
Proposition 4.7 - Puissances de matrices diagonalisables
Si \(A = PDP^{-1}\) avec \(D = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\), alors pour tout \(k \in \mathbb{N}\) : \[A^k = PD^kP^{-1} = P \text{diag}(\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k) P^{-1}\]
Démonstration
Par récurrence sur \(k\). Pour \(k = 0\) : \(A^0 = I_n = PD^0P^{-1}\). Pour \(k = 1\) : c’est la définition.
Si \(A^k = PD^kP^{-1}\), alors \(A^{k+1} = (PD^kP^{-1})(PDP^{-1}) = PD^{k+1}P^{-1}\).
Exemple 4.2.6 - Calcul de puissances de matrices
Avec \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\), \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\), \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) :
\[ A^{10} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1024 & 0 \\ 0 & 59049 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 59049 & 58025 \\ 0 & 1024 \end{pmatrix} \]
Sans diagonalisation, ce calcul serait extrêmement fastidieux !
Exercice
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 1\), \(v_0 = 0\) et : \[\begin{cases} u_{n+1} = 3u_n + v_n \\ v_{n+1} = 2v_n \end{cases}\]
En utilisant la diagonalisation de la matrice \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\), déterminer une formule explicite pour \(u_n\) et \(v_n\).
Exercice
Diagonaliser la matrice \(A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\). Vérifier que la somme des valeurs propres est bien égale à \(\text{tr}(A)\) et que le produit est bien égal à \(\det(A)\).
Remarque
La diagonalisation est au cœur de plusieurs méthodes de data science. En particulier, dans l’Analyse en Composantes Principales (chapitre 10), on diagonalise la matrice de corrélation des données : les valeurs propres mesurent la variance expliquée par chaque composante, et les vecteurs propres définissent les nouvelles directions d’analyse. Le théorème spectral (chapitre 6) garantit que cette diagonalisation est toujours possible pour les matrices symétriques, ce qui est exactement le cas des matrices de corrélation.